Державні освітні установи
«Придністровський державний університет ім. Т.Г. Шевченка »
Рибницький філія
Кафедра фізики, математики та інформатики
Курсова робота
з дисципліни: «Практикум з розв'язання задач на ЕОМ»
на тему:
«Метод Ньютона для розв'язування нелінійних рівнянь»
Виконала:
студентка III курсу;
330 ї групи
спеціальності: «Інформатика
з доп. спеціальністю англійська
мова ».
Ністор А. Г..
Перевірила:
викладач Панченко Т. А.
р. Рибниця
2008
Зміст
Введення
Цілі і завдання.
I. Теоретичний розділ.
1.1 Огляд існуючих методів розв'язання нелінійних рівнянь.
1.2 Алгоритм методу Ньютона.
II. Практичний розділ.
III. Розробка програмного продукту.
3.1 Опис програми.
3.2 Тестування програми.
Висновок
Список використаної літератури
Введення
Впровадження ЕОМ в усі сфери людської діяльності вимагає від фахівців різного профілю оволодіння навичками використання обчислювальної техніки. Підвищується рівень підготовки студентів вузів, які вже з перших курсів долучаються до використання ЕОМ і найпростіших чисельних методів, не кажучи вже про те, за що виконанні курсових і дипломних проектів застосування обчислювальної техніки стає нормою в переважній більшості ВНЗ.
Обчислювальна техніка використовується зараз не тільки в інженерних розрахунках і економічних науках, а й таких традиційно нематематичних спеціальностях, як медицина, лінгвістика, психологія. У зв'язку з цим можна констатувати, що застосування ЕОМ набуло масового характеру. Виникла численна категорія фахівців - користувачів ЕОМ, яким необхідні знання щодо застосування ЕОМ у своїй галузі - навички роботи з уже наявним програмним забезпеченням, а також створення свого власного програмного забезпечення, пристосованого для вирішення конкретного завдання. І тут на допомогу користувачеві приходять опису мов програмування високого рівня та чисельні методи.
Чисельні методи розробляють і досліджують, як правило, висококваліфіковані фахівці-математики. Для більшості користувачів головним завданням є розуміння основних ідей і методів, особливостей та областей застосування. Проте, користувачі хочуть працювати з ЕОМ не тільки як з високоінтелектуальним калькулятором, а ще і як з помічником в повсякденній роботі, сховищем інформації з швидким і впорядкованим доступом, а так само з джерелом і обробником графічної інформації. Всі ці функції сучасної ЕОМ я припускаю продемонструвати в цій курсовій роботі.
Цілі і завдання.
Метою даної курсової роботи є вивчення та реалізація в програмному продукті рішення нелінійних рівнянь за допомогою методу Ньютона. Дана робота складається з трьох розділів, висновків і додатку. Перший розділ - теоретичний і містить загальні відомості про метод Ньютона. Другий - це практична частина. Тут описується метод Ньютона розібраний на конкретних прикладах. Третій присвячений тестуванню програми та аналізу одержані результатів. У висновку представлений висновок про виконану роботу.
Метою даної курсової роботи є програмна реалізація методу Ньютона для розв'язування нелінійних рівнянь.
Для цього необхідно виконати наступні завдання:
1. Вивчити необхідну літературу.
2. Оглядово розглянути існуючі методи за рішенням нелінійних рівнянь.
3. Вивчити метод Ньютона для розв'язування нелінійних рівнянь.
4. Розглянути рішення нелінійних рівнянь методом Ньютона на конкретних прикладах.
5. Розробити програму для вирішення нелінійних рівнянь методом Ньютона.
6. Проаналізувати отримані результати.
I. Теоретичний розділ
Розглянемо задачу знаходження коренів нелінійного рівняння
f (x) = 0 (1)
Корінням рівняння (1) називаються такі значення х, які при підстановці звертають його в тотожність. Тільки для найпростіших рівнянь вдається знайти рішення у вигляді формул, тобто аналітичному вигляді. Частіше доводиться вирішувати рівняння наближеними методами, найбільше поширення серед яких, у зв'язку з появою комп'ютерів, отримали чисельні методи.
Алгоритм знаходження коренів наближеними методами можна розбити на два етапи. На першому вивчається розташування коренів і проводиться їх розділення. Знаходиться область [a, b], в якій існує корінь рівняння або початкове наближення до кореня x 0. Найпростіший спосіб вирішення цього завдання є дослідження графіка функції f (x). У загальному ж випадку для її вирішення необхідно залучати всі засоби математичного аналізу.
Існування на знайденому відрізку [a, b], принаймні, одного кореня рівняння (1) випливає з умови Больцано:
f (a) * f (b) <0 (2)
При цьому мається на увазі, що функція f (x) неперервна на цьому відрізку. Проте ця умова не відповідає на питання про кількість коренів рівняння на заданому відрізку [a, b]. Якщо ж вимога безперервності функції доповнити ще вимогою її монотонності, а це випливає з знакопостоянства першої похідної , То можна стверджувати про існування єдиного кореня на заданому відрізку.
При локалізації коренів важливо так само знання основних властивостей даного типу рівняння. Приміром, нагадаємо, деякі властивості алгебраїчних рівнянь:
, (3)
де речові коефіцієнти.
а) Рівняння ступеня n має n коренів, серед яких можуть бути як дійсні, так і комплексні. Комплексні корені утворюють комплексно-зв'язані пари і, отже, рівняння має парне число таких коренів. При непарному значенні n є, щонайменше, один речовий корінь.
б) Число позитивних речових коренів менше або дорівнює кількості змінних знаків у послідовності коефіцієнтів . Заміна х на-х у рівнянні (3) дозволяє таким же способом оцінити число негативних коренів.
На другому етапі вирішення рівняння (1), використовуючи отримане початкове наближення, будується ітераційний процес, що дозволяє уточнювати значення кореня з деякою, наперед заданою точністю . Ітераційний процес полягає у послідовному уточненні початкового наближення. Кожен такий крок називається итерацией. У результаті процесу ітерації знаходиться послідовність наближених значень коренів рівняння
. Якщо ця послідовність із зростанням n наближається до істинного значення кореня x, то ітераційний процес сходиться. Кажуть, що ітераційний процес сходиться, щонайменше, з порядком m, якщо виконана умова:
, (4)
де С> 0 деяка константа. Якщо m = 1, то говорять про збіжність першого порядку; m = 2 - про квадратичної, m = 3 - про кубічної збіжності.
Ітераційні цикли закінчуються, якщо при заданій допустимої похибки виконуються критерії за абсолютними або відносним відхиленням:
;
(5,6)
або малості нев'язки:
(7)
Ця робота присвячена вивченню алгоритму розв'язання нелінійних рівнянь за допомогою методу Ньютона.
1.1 Огляд існуючих методів розв'язання нелінійних рівнянь
Існує багато різних методів розв'язування нелінійних рівнянь, деякі з них представлені нижче:
1) Метод ітерацій. При вирішенні нелінійного рівняння методом ітерацій скористаємося записом рівняння у вигляді x = f (x). Задаються початкове значення аргументу x 0 і точність ε. Перше наближення рішення x 1 знаходимо з виразу x 1 = f (x 0), друге - x 2 = f (x 1) і т.д. У загальному випадку i +1 наближення знайдемо за формулою xi +1 = f (xi). Вказану процедуру повторюємо поки | f (xi) |> ε. Умова збіжності методу ітерацій | f '(x) | <1.
2) Метод Ньютона. При вирішенні нелінійного рівняння методом Ньтона задаються початкове значення аргументу x 0 і точність ε. Потім в точці (x 0, F (x 0)) проводимо дотичну до графіка F (x) і визначаємо точку перетину дотичної з віссю абсцис x 1. У точці (x 1, F (x 1)) знову будуємо дотичну, знаходимо наступне наближення шуканого розв'язку x 2 і т.д. Вказану процедуру повторюємо поки | F (xi) |> ε. Для визначення точки перетину (i +1) дотичної з віссю абсцис скористаємося наступною формулою x i +1 = x i-F (x i) \ F '(x i). Умова збіжності методу дотичних F (x 0) ∙ F''(x)> 0, і ін
3). Метод дихотомії. Методика рішення зводиться до поступового поділу початкового інтервалу невизначеності навпіл за формулою З к = а до + у к / 2.
Для того щоб вибрати з двох одержані відрізків необхідний, треба знаходити значення функції на кінцях одержані відрізків і розглядати той на якому функція буде міняти свій знак, тобто повинна виконуватися умова f (а к) * f (у к) <0.
Процес поділу відрізка проводиться до тих пір, поки довжина поточного інтервалу невизначеності не буде менше заданої точності, тобто
в до - а до <E. Тоді в якості наближеного рішення рівняння буде точка, відповідна середині інтервалу невизначеності.
4). Метод хорд. Ідея методу полягає в тому, що на відрізку [a, b] будується хорда стягуюча кінці дуги графіка функції y = f (x), а точка c, перетину хорди з віссю абсцис, вважається наближеним значенням кореня
c = a - (f (a) Ч (ab)) / (f (a) - f (b)),
c = b - (f (b) Ч (ab)) / (f (a) - f (b)).
Наступне наближення шукається на інтервалі [a, c] або [c, b] в залежності від знаків значень функції в точках a, b, c
x * О [c, b], якщо f (с) Ч f (а)> 0;
x * О [a, c], якщо f (c) Ч f (b) <0.
Якщо f '(x) не змінює знак на [a, b], то позначаючи c = x 1 і вважаючи початковим наближенням a або b отримаємо ітераційні формули методу хорд із закріпленою правого або лівого точкою.
x 0 = a, x i +1 = x i - f (x i) (bx i) / (f (b)-f (x i), при f '(x) Ч f "(x)> 0;
x 0 = b, x i +1 = x i - f (x i) (x i-a) / (f (x i)-f (a), при f '(x) Ч f "(x) < 0.
Збіжність методу хорд лінійна.
1.2 Алгоритм методу Ньютона
Побудуємо ефективний алгоритм обчислення коренів рівняння. Нехай задано початкове наближення . Обчислимо в цій точці значення функції
та її похідної
. Розглянемо графічну ілюстрацію методу:
.
Далі отримаємо наступне наближення в точці , Проводячи дотичну з точки (
) До перетину з віссю абсцис:
(8)
Продовжуючи цей процес, отримаємо відому формулу Ньютона:
(9)
y
x
Рис. 1.
Наведемо найпростішу рекурсивну підпрограму-функцію:
function X_Newt (x, eps: real): real;
var y: real;
begin
y: = xf (x) / f1 (x);
if abs (f (x))> eps
then X_Newt: = X_Newt (y, eps)
else X_Newt: = y
end;
Метод Ньютона (дотичних) характеризується квадратичної швидкістю збіжності, тобто на кожній ітерації подвоюється число вірних знаків. Однак цей метод не завжди приводить до потрібного результату. Розглянемо це питання докладніше.
Перетворимо рівняння (1) до еквівалентного рівняння виду:
x = g (x) (10)
У випадку методу дотичних . Якщо відомо початкове наближення до кореня x = x 0, то наступне наближення знайдемо з рівняння x 1 = g (x 0), далі x 2 = g (x 1 ),... Продовжуючи цей процес, отримаємо рекуррентную формулу методу простої ітерації
x k +1 = g (x k) (11)
Ітераційний процес продовжується до тих пір, поки не будуть виконані умови (5-7).
Чи завжди описаний обчислювальний процес призводить до шуканого рішення? За яких умов він буде збіжним? Для відповіді на ці питання знову звернемося до геометричної ілюстрації методу.
Корінь рівняння представляється точкою перетину функцій y = x і y = g (x). Як видно з рис. 3 (а), якщо виконується умова , То процес сходиться, інакше - розходиться (Рис3 (б)).
(A) (б)
Рис. 3.
Отже, для того щоб ітераційний процес був збіжним і приводив до шуканого результату, потрібно виконання умови:
(12)
Перехід від рівняння f (x) = 0 до рівняння х = g (x) можна здійснювати різними способами. При цьому важливо, щоб обрана функція g (x) задовольняла умові (12). Наприклад, якщо функцію f (x) помножити на довільну константу q і додати до обох частин рівняння (1) змінну х, то g (x) = q * f (x) + x. Виберемо константу q такий, щоб швидкість збіжності алгоритму була найвищою. Якщо 1 <g '(x) <0, то збіжність ітераційного процесу буде двосторонньою. Похідна по х від цієї функції: g '(x) = 1 + q * f' (x). Найбільшу збіжність отримаємо при g '(x) = 0, тоді q = - 1 / f' (x) і формула (11) переходить в формулу Ньютона (9).
Метод Ньютона має високу швидкість збіжності, проте він не завжди збігається. Умова збіжності , Де g (x) = x - f (x) / f '(x), зводиться до вимоги
.
У практичних розрахунках важливо вибирати початкове значення як можна ближче до шуканого значенням, а в програмі встановлювати «запобіжник від зациклення».
Недоліком методу є й те, що на кожному кроці необхідно обчислювати не тільки функцію, але і її похідну. Це не завжди зручно. Одна з модифікацій методу Ньютона - обчислення похідної тільки на першій ітерації:
(13)
Інший метод модифікації - заміна похідної кінцевої різницею
(14)
Тоді (15)
Геометричний сенс такої зміни алгоритму Ньютона полягає в тому, що від дотичній ми приходимо до січної. Метод січних поступається методу Ньютона у швидкості збіжності, але не вимагає обчислення похідної. Зауважимо, що початкові наближення в методі січних можуть розташовуватися як з різних боків від кореня, так і з одного боку.
Запишемо в загальному вигляді алгоритм методу Ньютона.
1. Задати початкове наближення х (0) так, щоб виконалось умова
f (x (0)) * f''(x (0))> 0. (16)
Поставити мале додатне число ε, як точність обчислень. Покласти к = 0.
2. Обчислити х (до +1) за формулою (9):
.
3. Якщо | x (k +1) - x (k) | <ε, то процес обчислення припинити і покласти х * = x (k +1). Інакше збільшити до на 1 (до = к + 1) і перейти до пункту 2 .
II. Практичний розділ
Вирішимо вручну кілька нелінійних рівнянь методом Ньютона, а потім звіримо результати з тими, які вийдуть при реалізації програмного продукту.
Приклад 1
Розв'язати рівняння методом Ньютона.
sin x 2 + cos x 2 - 10x. = 0.
Обчислення проводити з точністю ε = 0, 001.
Рішення:
Обчислимо першу похідну функції.
F '(x) = 2x cos x 2 - 2x sin x 2 - 10.
Тепер обчислимо другу похідну від функції.
F''(x) = 2cos x 2 - 4 x 2 sin x 2 - 2sin x 2 - 4 x 2 cos x 2 = cos x 2 (2-4 x 2) - sin x 2 (2 +4 x 2).
Побудуємо наближений графік даної функції.
Тепер, виходячи з графіка, візьмемо перший наближений корінь і перевіримо умова (16): f (x (0)) * f''(x (0))> 0.
Нехай x (0) = 0, 565, тоді f (0. 565) * f''(0. 565) = -4. 387 * (-0. 342) = 1. 5> 0,
Умова виконується, значить беремо x (0) = 0, 565.
Тепер складемо таблицю значень, для вирішення даного рівняння.
k
x (k)
f (x (k))
f '(x (k))
| X (k +1) - x (k) |
0
0. 565
-4. 387
-9. 982
0. 473
1
0. 092
0. 088
-9. 818
0. 009
2
0. 101
0. 000
-9. 800
0. 000
3
0. 101
Звідси випливає, що корінь рівняння х = 0, 101.
Приклад 2
Розв'язати рівняння методом Ньютона.
cos x - e-x2 / 2 + x - 1 = 0
Обчислення проводити з точністю ε = 0, 001.
Рішення:
Обчислимо першу похідну функції.
F '(x) = 1 - sin x + x * e-x2 / 2.
Тепер обчислимо другу похідну від функції.
F''(x) = e-x2 / 2 * (1-x 2) - cos x.
Побудуємо наближений графік даної функції.
Тепер, виходячи з графіка, візьмемо перший наближений корінь і перевіримо умова (16): f (x (0)) * f''(x (0))> 0.
Нехай x (0) = 2, тоді f (2) * f''(2) = 0. 449 * 0. 010 = 0.05> 0,
Умова виконується, значить беремо x (0) = 2.
Тепер складемо таблицю значень, для вирішення даного рівняння.
k
x (k)
f (x (k))
f '(x (k))
| X (k +1) - x (k) |
0
2
0. 449
0. 361
1. 241
1
-0. 265
0. 881
0. 881
0. 301
2
-0. 021
0. 732
0. 732
0. 029
3
0. 000
0. 716
0. 716
0. 000
4
1. 089
Звідси випливає, що корінь рівняння х = 1. 089.
Приклад 3
Розв'язати рівняння методом Ньютона.
x 2 - e-x = 0.
Обчислення проводити з точністю ε = 0, 001.
Рішення:
Обчислимо першу похідну функції.
F '(x) = 2 * x + e-x.
Тепер обчислимо другу похідну від функції.
F''(x) = 2 - e-x.
Побудуємо наближений графік даної функції.
Тепер, виходячи з графіка, візьмемо перший наближений корінь і перевіримо умова (16): f (x (0)) * f''(x (0))> 0.
Нехай x (0) = 1, тоді f (2) * f''(2) = 0. 632 * 1, 632 = 1, 031> 0,
Умова виконується, значить беремо x (0) = 1.
Тепер складемо таблицю значень, для вирішення даного рівняння.
k
x (k)
f (x (k))
f '(x (k))
| X (k +1) - x (k) |
0
1, 000
0, 632
2, 368
0, 267
1
0, 733
0, 057
1, 946
0, 029
2
0, 704
0, 001
1, 903
0, 001
3
0, 703
Звідси випливає, що корінь рівняння х = 0, 703.
Приклад 4.
Розв'язати рівняння методом Ньютона.
cos x-e-x / 2 + x-1 = 0.
Рішення:
Обчислимо першу похідну функції.
F '(x) =-sin x + e-x / 2 / 2 +1.
Тепер обчислимо другу похідну від функції.
F''(x) =-cos x - e-x / 2 / 4.
Побудуємо наближений графік даної функції.
Тепер, виходячи з графіка, візьмемо перший наближений корінь і перевіримо умова (16): f (x (0)) * f''(x (0))> 0.
Нехай x (0) = 1, тоді f (2) * f''(2) = -0. 066 * (-0. 692) = 0. 046> 0,
Умова виконується, значить беремо x (0) = 1.
Тепер складемо таблицю значень, для вирішення даного рівняння.
k
x (k)
f (x (k))
f '(x (k))
| X (k +1) - x (k) |
0
1, 000
-0. 066
0. 462
0. 143
1
1. 161
-0. 007
0. 372
0. 018
2
1. 162
0. 0001.
0. 363
0. 001
3
1. 162
Звідси випливає, що корінь рівняння х = 1. 162.
Приклад 5
Розв'язати рівняння методом Ньютона.
-2 + E x - e-x = 0.
Рішення:
Обчислимо першу похідну функції.
F '(x) = e x + e-x.
Тепер обчислимо другу похідну від функції.
F''(x) = e x-e-x.
Побудуємо наближений графік даної функції.
Тепер, виходячи з графіка, візьмемо перший наближений корінь і перевіримо умова (16): f (x (0)) * f''(x (0))> 0.
Нехай x (0) = 1, тоді f (2) * f''(2) = 0. 350 * 2, 350 = 0. 823> 0,
Умова виконується, значить беремо x (0) = 1.
Тепер складемо таблицю значень, для вирішення даного рівняння.
k
x (k)
f (x (k))
f '(x (k))
| X (k +1) - x (k) |
0
1, 000
0, 350
3, 086
0, 114
1
0, 886
0, 013
2, 838
0, 005
2
0, 881
0, 001
2, 828
0, 000
3
0, 881
Звідси випливає, що корінь рівняння х = 0, 881.
III. Розробка програмного продукту
3.1 Опис програми
Дана програма створена для роботи в текстовому і графічному режимі. Вона складається з модуля Graph, Crt, трьох функцій і трьох процедур.
модуль Crt призначений для забезпечення контролю над текстовими режимами екрану, розширеними кодами клавіатури, квітами, вікнами і звуком;
модуль Graph призначений для забезпечення контролю над графічними об'єктами;
procedure GrafInit - ініціалізує графічний режим;
function VF - обчислює значення функції;
function f1 - обчислює значення першої похідної функції;
function X_Newt - реалізує алгоритм розв'язання рівняння методом Ньютона.
procedure FGraf - реалізує побудова графіка заданої функції f (x);
Ots = 35 - константа, яка визначає кількість точок для відступу від кордонів монітора;
fmin, fmax - максимальні і мінімальні значення функції;
SetColor (4) - процедура, яка встановлює поточний колір графічного об'єкта, використовуючи палітру, в даному випадку це червоний колір;
SetBkColor (9) - процедура, яка встановлює поточний колір тла, використовуючи палітру, в даному випадку - це світло-синій колір.
Procedure MaxMinF - вирахують максимальні і мінімальні значення функції f (x).
Line - процедура, яка малює лінію з точки з координатами (x1, у1) у точку з координатами (х2, у2);
MoveTo - процедура, що переміщає покажчик (СР) в точку з координатами (х, у);
TextColor (5) - процедура, що встановлює поточний колір символів, в даному випадку - це рожевий;
Outtexty (х, у, 'рядок') - процедура, яка виводить рядок, починаючи з позиції (х, у)
CloseGraph - процедура, що закриває графічну систему.
3.2 Тестування програми
Для тестування програми візьмемо ті приклади, які вирішували в практичній частині роботи, щоб звірити результати і перевірити правильність роботи програми.
sin x 2 + cos x 2 - 10x. = 0.
Тест:
Дана програма обчислює коріння нелінійного рівняння методом Ньютона з точністю eps і креслить приблизний графік функції на відрізку [a, b].
Введіть а = -1
Введіть b = 1
[A, b] = [-1, 1]
Введіть точність обчислення eps = 0. 01
{Висновок графіка функції}
Корінь рівняння, знайдений методом Ньютона:
x = 0.101.
зробимо перевірку, підставивши отриману відповідь в рівняння.
Отримаємо: х = 0, 0000002
2) cos x - e-x2 / 2 + x - 1 = 0.
Тест:
Дана програма обчислює коріння нелінійного рівняння методом Ньютона з точністю eps і креслить приблизний графік функції на відрізку [a, b].
Введіть а = -3
Введіть b = 3
[A, b] = [-3, 3]
Введіть точність обчислення eps = 0. 001
{Висновок графіка функції}
Корінь рівняння, знайдений методом Ньютона:
x = 1.089.
зробимо перевірку, підставивши отриману відповідь в рівняння.
Отримаємо: х =- 0, 0000000
3) x 2 - e-x = 0.
Тест:
Дана програма обчислює коріння нелінійного рівняння методом Ньютона з точністю eps і креслить приблизний графік функції на відрізку [a, b].
Введіть а = -1
Введіть b = 1
[A, b] = [-1, 1]
Введіть точність обчислення eps = 0. 01
{Висновок графіка функції}
Корінь рівняння, знайдений методом Ньютона:
x = 0.703.
зробимо перевірку, підставивши отриману відповідь в рівняння.
Отримаємо: х = 0, 0000000
4) cos x-e-x / 2 + x-1 = 0.
Тест:
Дана програма обчислює коріння нелінійного рівняння методом Ньютона з точністю eps і креслить приблизний графік функції на відрізку [a, b].
Введіть а = -1,5
Введіть b = 1,5
[A, b] = [-1,5, 1,5]
Введіть точність обчислення eps = 0. 001
{Висновок графіка функції}
Корінь рівняння, знайдений методом Ньютона:
x = 1,164.
зробимо перевірку, підставивши отриману відповідь в рівняння.
Отримаємо: х = 0, 0008180
5) -2 + e x - e-x = 0.
Тест:
Дана програма обчислює коріння нелінійного рівняння методом Ньютона з точністю eps і креслить приблизний графік функції на відрізку [a, b].
Введіть а = -0,9
Введіть b = 0,9
[A, b] = [-0,9, 0,9]
Введіть точність обчислення eps = 0. 001
{Висновок графіка функції}
Корінь рівняння, знайдений методом Ньютона:
x = 0.881.
Зробимо перевірку, підставивши отриману відповідь в рівняння.
Отримаємо: х = 0, 0000000
Висновок
Метою роботи було створити програму, яка обчислює корінь нелінійного рівняння методом Ньютона. Виходячи з цього, можна зробити висновок, що мета досягнута, оскільки для її здійснення були вирішені наступні завдання:
1.Изучить необхідна література.
2.Обзорно розглянуті існуючі методи за рішенням нелінійних рівнянь.
3.Ізучен метод Ньютона для розв'язування нелінійних рівнянь.
4.Рассмотрено рішення нелінійних рівнянь методом Ньютона на прикладі.
5.Проведени тестування і налагодження програми.
Список використаної літератури
Б.П. Демидович, І.А Марон. Основи обчислювальної математики. - Москва, вид. «Наука»; 1970.
В.М. Вержбицький. Чисельні методи (лінійна алгебра і нелінійні рівняння). - Москва, «Вища школа»; 2000.
Н. С. Бахвалов, О. В. Лапін, Є. В. Чіжонков. Чисельні методи в задачах і вправах. - Москва, «Вища школа»; 2000.
Метьюз, Джон, Г., Фінк, Куртіс, Д. Чисельні методи MATLAB, 3-е видання .- Москва, «Вільяс»; 2001.